$P(x) = (x - 1)^2(x - 2)^3(x - 3)^4 \dots (x - 10)^{11}$ के विस्तार में $x^{64}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

$x$ का एक संभावित मान ज्ञात कीजिए,जिसके लिए $\left\{3^{\log _{3} \sqrt{25^{x-1}+7}}+3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)}\right\}^{10}$ के विस्तार में $3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)}$ की बढ़ती घातों में नौवां पद $180$ के बराबर है।

${\left( {2x + \frac{1}{{3x}}} \right)^6}$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद है

$(1 + \alpha x)^4$ और $(1 - \alpha x)^6$ के $x$ की घातों में द्विपद विस्तार में मध्य पद का गुणांक समान है,यदि $\alpha$ का मान है

यदि $n$ एक सम धनात्मक पूर्णांक है, तो $(a+x)^{n}$ के विस्तार में महत्तम पद का गुणांक भी महत्तम हो, इसके लिए शर्त है:

यदि $(3+ax)^{9}$ के विस्तार में $x^{2}$ और $x^{3}$ के गुणांक समान हैं,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।