ઉપવલય frac{x^2}{4}+frac{y^2}{3}=1 ધ્યાનમાં લો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $F(2\cos\phi, 2\sin\phi)$ અને $E(2\cos\phi, \sqrt{3}\sin\phi)$ છે.
$E$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x(2\cos\phi)}{4} + \frac{y(\sqrt{3}\s

Vedclass · Accepted Answer

$(I) \rightarrow (Q); (II) \rightarrow (T); (III) \rightarrow (S); (IV) \rightarrow (P)$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $F(2\cos\phi, 2\sin\phi)$ અને $E(2\cos\phi, \sqrt{3}\sin\phi)$ છે.
$E$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x(2\cos\phi)}{4} + \frac{y(\sqrt{3}\sin\phi)}{3} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x\cos\phi}{2} + \frac{y\sin\phi}{\sqrt{3}} = 1$ થાય છે.
$y=0$ લેતા,આપણને $G$ નો $x$-યામ $x_G = \frac{2}{\cos\phi}$ મળે છે. આમ,$G = (\frac{2}{\cos\phi}, 0)$.
યામો $F(2\cos\phi, 2\sin\phi)$,$G(\frac{2}{\cos\phi}, 0)$,અને $H(2\cos\phi, 0)$ છે.
$\Delta FGH$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{પાયો} 	imes 	ext{વેધ} = \frac{1}{2} 	imes HG 	imes FH$.
$HG = |\frac{2}{\cos\phi} - 2\cos\phi| = 2\frac{1-\cos^2\phi}{\cos\phi} = 2\frac{\sin^2\phi}{\cos\phi}$.
$FH = 2\sin\phi$.
ક્ષેત્રફળ $A(\phi) = \frac{1}{2} 	imes (2\frac{\sin^2\phi}{\cos\phi}) 	imes (2\sin\phi) = 2	an\phi \sin^2\phi$.
$(I)$ $\phi = \frac{\pi}{4}$ માટે,$A = 2	an(\frac{\pi}{4}) \sin^2(\frac{\pi}{4}) = 2(1)(\frac{1}{2}) = 1 ightarrow (Q)$.
$(II)$ $\phi = \frac{\pi}{3}$ માટે,$A = 2	an(\frac{\pi}{3}) \sin^2(\frac{\pi}{3}) = 2(\sqrt{3})(\frac{3}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} ightarrow (T)$.
$(III)$ $\phi = \frac{\pi}{6}$ માટે,$A = 2	an(\frac{\pi}{6}) \sin^2(\frac{\pi}{6}) = 2(\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{3}} ightarrow (S)$.
$(IV)$ $\phi = \frac{\pi}{12}$ માટે,$A = 2	an(\frac{\pi}{12}) \sin^2(\frac{\pi}{12}) = 2(2-\sqrt{3})(\frac{1-\cos(\pi/6)}{2}) = (2-\sqrt{3})(1-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{(2-\sqrt{3})^2}{2} = \frac{7-4\sqrt{3}}{2}$.
વળી,$\frac{(\sqrt{3}-1)^4}{8} = \frac{(4-2\sqrt{3})^2}{8} = \frac{28-16\sqrt{3}}{8} = \frac{7-4\sqrt{3}}{2}$. આમ,$(IV) ightarrow (P)$.
તેથી,$(I) ightarrow (Q), (II) ightarrow (T), (III) ightarrow (S), (IV) ightarrow (P)$.

$List-I$	$List-II$
$(I)$ જો $\phi=\frac{\pi}{4}$ હોય,તો ત્રિકોણ $FGH$ નું ક્ષેત્રફળ	$(P) \frac{(\sqrt{3}-1)^4}{8}$
$(II)$ જો $\phi=\frac{\pi}{3}$ હોય,તો ત્રિકોણ $FGH$ નું ક્ષેત્રફળ	$(Q) 1$
$(III)$ જો $\phi=\frac{\pi}{6}$ હોય,તો ત્રિકોણ $FGH$ નું ક્ષેત્રફળ	$(R) \frac{3}{4}$
$(IV)$ જો $\phi=\frac{\pi}{12}$ હોય,તો ત્રિકોણ $FGH$ નું ક્ષેત્રફળ	$(S) \frac{1}{2\sqrt{3}}$
	$(T) \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Similar Questions

ઉપવલય $9x^{2} + 25y^{2} = 225$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

જેના નાભિ $(0, \pm 1)$ હોય અને મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $\sqrt{5}$ હોય તેવું ઉપવલય કયું છે?

એક ઉપવલય (ellipse) ના નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{18}{5}$ છે અને ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{4}{5}$ છે,તો ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો...

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module