त्रिभुज ABC के संगत, List-I में दी गई वस्तुओं | vedclass

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Question

(A-II, B-III, C-I) $	riangle ABC$ में, हम बहिःत्रिज्याओं $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$, $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$, $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ और अंतःत्

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(A-II, B-III, C-I) $	riangle ABC$ में, हम बहिःत्रिज्याओं $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$, $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$, $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ और अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$ के मानक सूत्रों का उपयोग करते हैं।$(A)$ दिया गया है $rr_2 = r_1r_3$:$\frac{\Delta}{s} \cdot \frac{\Delta}{s-b} = \frac{\Delta}{s-a} \cdot \frac{\Delta}{s-c}$$\Rightarrow (s-a)(s-c) = s(s-b)$$\Rightarrow s^2 - s(a+c) + ac = s^2 - sb$चूंकि $a+c = 2s-b$, हमारे पास $s^2 - s(2s-b) + ac = s^2 - sb$ है$\Rightarrow -s^2 + 2sb + ac = 0$. यह $b^2 = a^2 + c^2$ में सरल हो जाता है, जिसका अर्थ है $\angle B = 90^{\circ}$। अतः, $(A)$ $ightarrow$ $(II)$।$(B)$ दिया गया है $r_1 + r_2 = r_3 - r$:$\frac{\Delta}{s-a} + \frac{\Delta}{s-b} = \frac{\Delta}{s-c} - \frac{\Delta}{s}$$\frac{s-b+s-a}{(s-a)(s-b)} = \frac{s-(s-c)}{s(s-c)}$$\frac{c}{(s-a)(s-b)} = \frac{c}{s(s-c)}$$\Rightarrow s(s-c) = (s-a)(s-b)$$\Rightarrow s^2 - sc = s^2 - s(a+b) + ab$$\Rightarrow s(a+b-c) = ab$चूंकि $a+b-c = 2(s-c)$, यह $\angle C = 90^{\circ}$ की ओर ले जाता है। अतः, $(B)$ $ightarrow$ $(III)$।$(C)$ दिया गया है $r_1 = r + 2R$:$r_1 - r = 4R \sin^2(A/2)$ और $r_1+r_2+r_3-r = 4R$ का उपयोग करते हुए, यह विशिष्ट सर्वसमिका $r_1 = r + 2R$ ज्ञात है कि $\angle A = 90^{\circ}$ के संगत है। अतः, $(C)$ $ightarrow$ $(I)$।

List-$I$	List-$II$
$(A)$ $rr_2 = r_1r_3$	$(I)$ $\angle A = 90^{\circ}$
$(B)$ $r_1 + r_2 = r_3 - r$	$(II)$ $b^2 = c^2 + a^2$
$(C)$ $r_1 = r + 2R$	$(III)$ $\angle C = 90^{\circ}$
	$(IV)$ $\angle B = 120^{\circ}$

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