द्विविमीय गति करने वाले पिंड के लिए गति के समीकरणों को व्युत्पन्न कीजिए: $\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}t$ और $\vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v_0}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$.

मान लीजिए कि एक कण एक समतल में एकसमान त्वरण $\vec{a}$ के साथ गति कर रहा है। समय $t=0$ पर,वेग प्रारंभिक वेग $\vec{v_0}$ है और स्थिति $\vec{r_0}$ है। समय $t=t$ पर,वेग $\vec{v}$ है और स्थिति $\vec{r}$ है।
$1$. $\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}t$ की व्युत्पत्ति:
चूंकि त्वरण एकसमान है,तात्क्षणिक त्वरण इस प्रकार दिया जाता है:
$\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{v_0}}{t - 0}$
$\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{v_0}}{t}$
$\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}t$
घटकों के रूप में:
$v_x = v_{0x} + a_x t$
$v_y = v_{0y} + a_y t$
$2$. $\vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v_0}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$ की व्युत्पत्ति:
एकसमान त्वरण के लिए,औसत वेग $\vec{v}_{avg} = \frac{\vec{v} + \vec{v_0}}{2}$ होता है।
विस्थापन $\vec{r} - \vec{r_0} = \vec{v}_{avg} \cdot t = \left( \frac{\vec{v} + \vec{v_0}}{2} \right) t$ है।
$\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}t$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{r} - \vec{r_0} = \left( \frac{\vec{v_0} + \vec{a}t + \vec{v_0}}{2} \right) t$
$\vec{r} - \vec{r_0} = \left( \frac{2\vec{v_0} + \vec{a}t}{2} \right) t$
$\vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v_0}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$.