$x$ के सापेक्ष फलन का अवकलन कीजिए: $x^{x \cos x} + \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}$

(N/A) माना $y = x^{x \cos x} + \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}$.
माना $u = x^{x \cos x}$ और $v = \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}$.
अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$ .............$(1)$
$u = x^{x \cos x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\log u = (x \cos x) \log x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x \cos x) \cdot \log x + (x \cos x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = (\cos x - x \sin x) \log x + (x \cos x) \cdot \frac{1}{x}$
$\frac{du}{dx} = x^{x \cos x} [\cos x \log x - x \sin x \log x + \cos x]$
$\frac{du}{dx} = x^{x \cos x} [\cos x(1 + \log x) - x \sin x \log x]$ .............$(2)$
$v = \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}$ के लिए,भागफल नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{dv}{dx} = \frac{(x^{2}-1)(2x) - (x^{2}+1)(2x)}{(x^{2}-1)^{2}}$
$\frac{dv}{dx} = \frac{2x^{3} - 2x - 2x^{3} - 2x}{(x^{2}-1)^{2}} = \frac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}$ .............$(3)$
$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = x^{x \cos x} [\cos x(1 + \log x) - x \sin x \log x] - \frac{4x}{(x^{2}-1)^{2}}$