फलन $f$ की सांतत्यता पर चर्चा कीजिए,जहाँ $f$ को $f(x) = \begin{cases} 2x, & \text{यदि } x < 0 \\ 0, & \text{यदि } 0 \le x \le 1 \\ 4x, & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,$x=3$ पर।
(A) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 2x, & \text{यदि } x < 0 \\ 0, & \text{यदि } 0 \le x \le 1 \\ 4x, & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$ है।
$x=3$ पर सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम $x \to 3$ पर फलन की सीमा का मूल्यांकन करते हैं और इसकी तुलना $x=3$ पर फलन के मान से करते हैं।
चूँकि $3 > 1$,$x=3$ के पड़ोस में फलन $f(x) = 4x$ द्वारा परिभाषित है।
$1$. $x=3$ पर फलन का मान:
$f(3) = 4(3) = 12$.
$2$. $x \to 3$ पर फलन की सीमा:
$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (4x) = 4(3) = 12$.
चूँकि $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = 12$,इसलिए फलन $f$,$x=3$ पर संतत है।
$x=3$ पर सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम $x \to 3$ पर फलन की सीमा का मूल्यांकन करते हैं और इसकी तुलना $x=3$ पर फलन के मान से करते हैं।
चूँकि $3 > 1$,$x=3$ के पड़ोस में फलन $f(x) = 4x$ द्वारा परिभाषित है।
$1$. $x=3$ पर फलन का मान:
$f(3) = 4(3) = 12$.
$2$. $x \to 3$ पर फलन की सीमा:
$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (4x) = 4(3) = 12$.
चूँकि $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = 12$,इसलिए फलन $f$,$x=3$ पर संतत है।
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$f(x) = \begin{cases} 5, & x \le 1 \\ a + bx, & 1 < x < 3 \\ b + 5x, & 3 \le x < 5 \\ 30, & x \ge 5 \end{cases}$
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