$\int \frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} d x$ શોધો.

ધારો કે $\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}$ અને $x^{2}=y$ મૂકો.
તેથી $\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}=\frac{y}{(y+1)(y+4)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,$\frac{y}{(y+1)(y+4)} = \frac{A}{y+1} + \frac{B}{y+4}$ લખો.
આનો અર્થ એ છે કે $y = A(y+4) + B(y+1)$.
$y$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $A+B=1$ અને $4A+B=0$ મળે છે.
આને ઉકેલતા,આપણને $A = -\frac{1}{3}$ અને $B = \frac{4}{3}$ મળે છે.
આમ,$\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} = -\frac{1}{3(x^{2}+1)} + \frac{4}{3(x^{2}+4)}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{x^{2} dx}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} = -\frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^{2}+1} + \frac{4}{3} \int \frac{dx}{x^{2}+4}$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= -\frac{1}{3} \tan^{-1}(x) + \frac{4}{3} \times \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$.
$= -\frac{1}{3} \tan^{-1}(x) + \frac{2}{3} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$.