'$ORIENTAL$' शब्द के अक्षरों से कितने शब्द बनाए जा सकते हैं ताकि स्वर हमेशा विषम स्थानों पर आएं?

$16$ खिलाड़ियों में से $11$ खिलाड़ियों की एक क्रिकेट टीम कितने तरीकों से चुनी जा सकती है,यदि $2$ विशेष खिलाड़ियों को हमेशा शामिल किया जाना है?

$^{47}C_4 + \sum_{r=1}^{5} {}^{52-r}C_3 = $

एक क्लब में $6$ पुरुष और $8$ महिलाएँ हैं,जिनमें से $5$ लोगों की एक समिति बनानी है। यदि किसी भी पुरुष का चयन नहीं किया जाता है,तो $5$ लोगों को चुनने के तरीकों की संख्या क्या होगी?

$1, 2, 3, 4, 5, 6$ अंकों का उपयोग करके $3$ अंकों की कितनी विषम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,जब
$(i)$ अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है
(ii) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है?

जब $0 \le r \le n-1$ हो,तो $\binom{n}{n-r} + \binom{n}{r+1}$ का मान किसके बराबर है?