$(x-2y)^{12}$ के विस्तार में $4^{\text{th}}$ पद ज्ञात कीजिए। ($x^9y^3$ में)

मान लीजिए $s_1 = \sum_{j=1}^{10} j(j-1) \binom{10}{j}$,$s_2 = \sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j}$,और $s_3 = \sum_{j=1}^{10} j^2 \binom{10}{j}$.
कथन $-1$: $s_3 = 55 \times 2^9$
कथन $-2$: $s_1 = 90 \times 2^8$ और $s_2 = 10 \times 2^8$

मान लीजिए कि $(3+6x)^{n}$ के द्विपद विस्तार में,$6x$ की बढ़ती घातों में,$x=\frac{3}{2}$ के लिए $9$ वां पद सबसे बड़ा है। यदि $n_{0}$,$n$ का वह न्यूनतम मान है जिसके लिए यह सत्य है,और $k$,$x^{6}$ के गुणांक और $x^{3}$ के गुणांक का अनुपात है,तो $k + n_{0}$ का मान ज्ञात कीजिए।

${\left( x^3 + \frac{1}{x^4} \right)^n}$ के विस्तार में $x^r$ का पद प्राप्त होता है,यदि -

$(1-x+x^2-x^3)^4$ के विस्तार में $x^4$ का गुणांक है

द्विपद $(2^{1/3} + 3^{-1/3})^n$ में,यदि विस्तार के प्रारंभ से सातवें पद और अंत से सातवें पद का अनुपात $1/6$ है,तो $n =$