वक्र y=x^{2} और रेखा y=4 द्वारा परिबद्ध क्षेत | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र $y=x^{2}$ है,जो $y$-अक्ष के परितः सममित एक परवलय है जिसका शीर्ष मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।यह क्षेत्र वक्र $y=x^{2}$ और रेखा $y=4$ द्वा

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(A) दिया गया वक्र $y=x^{2}$ है,जो $y$-अक्ष के परितः सममित एक परवलय है जिसका शीर्ष मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।यह क्षेत्र वक्र $y=x^{2}$ और रेखा $y=4$ द्वारा परिबद्ध है। वक्र और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु $y=4$ को $y=x^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं,जिससे $x^{2}=4$ मिलता है,अतः $x=\pm 2$ है।चूंकि परवलय $y$-अक्ष के परितः सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $A$ प्रथम चतुर्थांश में वक्र,$y$-अक्ष और रेखा $y=4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के क्षेत्रफल का दोगुना होगा।$dy$ चौड़ाई और $x = \sqrt{y}$ लंबाई की क्षैतिज पट्टियों का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल इस प्रकार है:$A = 2 \int_{0}^{4} x \, dy = 2 \int_{0}^{4} \sqrt{y} \, dy$समाकलन का मान ज्ञात करने पर:$A = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} ight]_{0}^{4} = 2 	imes \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} ight]_{0}^{4}$$A = \frac{4}{3} \left( 4^{3/2} - 0^{3/2} ight) = \frac{4}{3} 	imes 8 = \frac{32}{3}$अतः,क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{32}{3}$ वर्ग इकाई है।

वक्र $y=x^{2}$ और रेखा $y=4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($/3$ में)

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समाकलन का उपयोग करके,$(1, 0)$,$(2, 2)$ और $(3, 1)$ शीर्षों वाले त्रिभुज द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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