दिए गए प्रतिबंधों को संतुष्ट करने वाले अतिपरव | vedclass

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Question

(A) नाभियाँ $(\pm 5, 0)$ हैं,जो $x$-अक्ष पर स्थित हैं। अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है।दी गई नाभियाँ $(\pm

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$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

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(A) नाभियाँ $(\pm 5, 0)$ हैं,जो $x$-अक्ष पर स्थित हैं। अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है।दी गई नाभियाँ $(\pm c, 0) = (\pm 5, 0)$ से,$c = 5$ प्राप्त होता है।अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 8$ है,जिससे $a = 4$ प्राप्त होता है।संबंध $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ का उपयोग करने पर,$5^{2} = 4^{2} + b^{2}$।$25 = 16 + b^{2} \Rightarrow b^{2} = 25 - 16 = 9$।$a^{2} = 16$ और $b^{2} = 9$ का मान रखने पर,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ प्राप्त होता है।

दिए गए प्रतिबंधों को संतुष्ट करने वाले अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए: नाभियाँ $(\pm 5, 0)$,अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $8$ है।

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माना कि $P(x_0, y_0)$ अतिपरवलय $3x^2 - 4y^2 = 36$ पर स्थित वह बिंदु है जो रेखा $3x + 2y = 1$ के सबसे निकट है। तब $\sqrt{2}(y_0 - x_0)$ का मान ज्ञात कीजिए:

अतिपरवलय $3x^2 - y^2 = 3$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी,जो रेखा $y = 2x + 4$ के समानांतर हैं,क्या है?

यदि रेखा $y = mx + c$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा है,तो बिंदु $P(m, c)$ का बिंदुपथ क्या है?

अतिपरवलय $2x^2 - y^2 = 6$ की उत्केंद्रता (eccentricity) है

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