निम्नलिखित अवकल समीकरण का विशिष्ट हल ज्ञात की | vedclass

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Question

(NONE) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+x^2) \frac{dy}{dx} = e^{	an^{-1} x} - y$.
$(1+x^2)$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^2} = \frac{e^{	a

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$y e^{	an^{-1} x} = \frac{e^{2 	an^{-1} x} + 1}{2}$

Vedclass · Answer

(NONE) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+x^2) \frac{dy}{dx} = e^{	an^{-1} x} - y$.
$(1+x^2)$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^2} = \frac{e^{	an^{-1} x}}{1+x^2}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{1+x^2}$ और $Q = \frac{e^{	an^{-1} x}}{1+x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{1+x^2} dx} = e^{	an^{-1} x}$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है।
$y e^{	an^{-1} x} = \int \frac{e^{	an^{-1} x}}{1+x^2} \cdot e^{	an^{-1} x} dx + C$.
माना $t = 	an^{-1} x$,तब $dt = \frac{1}{1+x^2} dx$ है।
$y e^{	an^{-1} x} = \int e^{2t} dt + C = \frac{e^{2t}}{2} + C = \frac{e^{2 	an^{-1} x}}{2} + C$ है।
दिया है $y=1$ जब $x=0$: $1 \cdot e^0 = \frac{e^0}{2} + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$y e^{	an^{-1} x} = \frac{e^{2 	an^{-1} x} + 1}{2}$ है।

निम्नलिखित अवकल समीकरण का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,दिया गया है कि $y=1$ जब $x=0$: $(1+x^2) \frac{dy}{dx} = e^{\tan^{-1} x} - y$.

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