alpha in N के लिए,N पर एक संबंध R पर विचार कर | vedclass

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Question

(D) $R$ को स्वतुल्य (reflexive) होने के लिए,सभी $x \in N$ के लिए $xRx$ सत्य होना चाहिए। $3x + \alpha x = (3 + \alpha)x, 7$ का एक गुणज होना चाहिए। इसका

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जब $\alpha$ को $7$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $4$ होता है

Vedclass · Answer

(D) $R$ को स्वतुल्य (reflexive) होने के लिए,सभी $x \in N$ के लिए $xRx$ सत्य होना चाहिए। $3x + \alpha x = (3 + \alpha)x, 7$ का एक गुणज होना चाहिए। इसका अर्थ है कि $(3 + \alpha), 7$ का एक गुणज होना चाहिए,इसलिए $3 + \alpha = 7k \Rightarrow \alpha = 7k - 3 = 7(k-1) + 4$। अतः,जब $\alpha$ को $7$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $4$ प्राप्त होता है। $R$ को सममित (symmetric) होने के लिए,$xRy \Rightarrow yRx$। $3x + \alpha y = 7n_1$ और $3y + \alpha x = 7n_2$। इनको घटाने पर,$(3 - \alpha)(x - y) = 7(n_1 - n_2)$। यह स्थिति तब संतुष्ट होती है यदि $3 + \alpha, 7$ का एक गुणज हो। $R$ को संक्रामक (transitive) होने के लिए,$xRy$ और $yRz \Rightarrow xRz$। $3x + \alpha y = 7n_1$ और $3y + \alpha z = 7n_2$। पहले समीकरण से,$\alpha y = 7n_1 - 3x$। दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर: $3y + \alpha z = 7n_2$। $y$ को विलुप्त करने पर,हम पाते हैं कि संबंध संक्रामक है यदि $3 + \alpha, 7$ का एक गुणज हो। इसलिए,$R$ के तुल्यता संबंध होने की शर्त यह है कि जब $\alpha$ को $7$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $4$ प्राप्त होता है।

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