समुच्चय A पर रिक्त संबंध (empty relation) है | vedclass

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Question

(B) समुच्चय $A$ पर एक रिक्त संबंध $\phi$ को $\phi = \emptyset \subseteq A 	imes A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। $1$. स्वतुल्यता के लिए,प्रत्येक

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सममित तथा संक्रमक (Symmetric and Transitive)

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(B) समुच्चय $A$ पर एक रिक्त संबंध $\phi$ को $\phi = \emptyset \subseteq A 	imes A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। $1$. स्वतुल्यता के लिए,प्रत्येक $a \in A$ के लिए,$(a, a) \in \phi$ होना चाहिए। चूँकि $\phi$ रिक्त है,इसमें कोई अवयव नहीं है,इसलिए यह स्वतुल्य नहीं है (जब तक कि $A = \emptyset$ न हो)। $2$. सममितता के लिए,यदि $(a, b) \in \phi$ है,तो $(b, a) \in \phi$ होना चाहिए। चूँकि $\phi$ में कोई अवयव नहीं है,इसलिए शर्त $(a, b) \in \phi \implies (b, a) \in \phi$ रिक्त रूप से (vacuously) सत्य है। अतः,यह सममित है। $3$. संक्रमकता के लिए,यदि $(a, b) \in \phi$ और $(b, c) \in \phi$ है,तो $(a, c) \in \phi$ होना चाहिए। चूँकि $\phi$ में कोई अवयव नहीं है,इसलिए यह शर्त भी रिक्त रूप से सत्य है। अतः,यह संक्रमक है। अतः,रिक्त संबंध सममित और संक्रमक होता है।

समुच्चय $A$ पर रिक्त संबंध (empty relation) है

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