a, b in mathbb{Z} और |a - b| leq 10 के लिए,सम | vedclass

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Question

(D) समतल $P: ax + y - z - b = 0$ है। अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है।रेखा $l$ की दिशा $\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$

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$32$

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(D) समतल $P: ax + y - z - b = 0$ है। अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है।रेखा $l$ की दिशा $\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।रेखा और समतल के बीच का कोण $	heta$ के लिए $\sin 	heta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ होता है।$\cos 	heta = \frac{1}{3}$ होने के कारण,$\sin 	heta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ होगा।$\frac{|a - 2|}{\sqrt{3} \sqrt{a^2 + 2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ को हल करने पर $5a^2 + 12a + 4 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $a = -2$ ($a \in \mathbb{Z}$ के कारण)।बिंदु $(6, -6, 4)$ से समतल की दूरी $3\sqrt{6}$ है,अतः $\frac{|-22 - b|}{\sqrt{6}} = 3\sqrt{6}$ प्राप्त होता है।$|-22 - b| = 18$ से $b = -4$ या $b = -40$ मिलता है।$|a - b| \leq 10$ शर्त के अनुसार $b = -4$ सही है।अतः $a^4 + b^2 = (-2)^4 + (-4)^2 = 16 + 16 = 32$।

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