$f(x) = \frac{\sin \pi[x]}{1+[x]} + \frac{x}{2+3x}$ માટે,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે,તો $R$ માં પ્રદેશ અને વિસ્તાર અનુક્રમે શું છે?

વિધેય $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$ નો વિસ્તાર શોધો.

ધારો કે $f(x)=\sqrt{2-x-x^2}$ અને $g(x)=\cos x$. નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$I$. $f((g(x))^2)$ નો પ્રદેશ = $f(g(x))$ નો પ્રદેશ
$II$. $f(g(x)) + g(f(x))$ નો પ્રદેશ = $g(f(x))$ નો પ્રદેશ
$III$. $f(g(x))$ નો પ્રદેશ = $g(f(x))$ નો પ્રદેશ
$IV$. $g((f(x))^3)$ નો પ્રદેશ = $f(g(x))$ નો પ્રદેશ

ધારો કે $R$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \sqrt{|x|} - \log(1 + |x|)$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે. હવે આપણે નીચે મુજબના વિધાનો કરીએ છીએ:
$I.$ એક એવી વાસ્તવિક સંખ્યા $A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી તમામ $x$ માટે $f(x) \leq A$ થાય.
$II.$ એક એવી વાસ્તવિક સંખ્યા $B$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી તમામ $x$ માટે $f(x) \geq B$ થાય.

$f(x) = \sin \log \left( \frac{\sqrt{4-x^2}}{1-x} \right)$ નો પ્રદેશ (domain) શોધો.

વિધેય $y=3 \sin \left(\sqrt{\frac{\pi^{2}}{16}-x^{2}}\right)$ નો વિસ્તાર શોધો.