एक धनात्मक स्थिरांक a के लिए frac{dy}{dx} ज्ञ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $y = a^{t+\frac{1}{t}}$ और $x = \left(t+\frac{1}{t}\right)^{a}$।सबसे पहले,चेन नियम का उपयोग करके $y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$

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$\frac{a^{t+\frac{1}{t}} \log a}{a\left(t+\frac{1}{t}\right)^{a-1}}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $y = a^{t+\frac{1}{t}}$ और $x = \left(t+\frac{1}{t}ight)^{a}$।सबसे पहले,चेन नियम का उपयोग करके $y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left(a^{t+\frac{1}{t}}ight) = a^{t+\frac{1}{t}} \cdot \log a \cdot \frac{d}{dt}\left(t+\frac{1}{t}ight) = a^{t+\frac{1}{t}} \cdot \log a \cdot \left(1 - \frac{1}{t^2}ight)$.अब,पावर नियम का उपयोग करके $x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left(t+\frac{1}{t}ight)^{a} = a\left(t+\frac{1}{t}ight)^{a-1} \cdot \frac{d}{dt}\left(t+\frac{1}{t}ight) = a\left(t+\frac{1}{t}ight)^{a-1} \cdot \left(1 - \frac{1}{t^2}ight)$.अब,प्राचलिक सूत्र $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ का उपयोग करके:$\frac{dy}{dx} = \frac{a^{t+\frac{1}{t}} \cdot \log a \cdot \left(1 - \frac{1}{t^2}ight)}{a\left(t+\frac{1}{t}ight)^{a-1} \cdot \left(1 - \frac{1}{t^2}ight)}$.समान पद $\left(1 - \frac{1}{t^2}ight)$ को हटाने पर ($t 
eq \pm 1$ के लिए):$\frac{dy}{dx} = \frac{a^{t+\frac{1}{t}} \log a}{a\left(t+\frac{1}{t}ight)^{a-1}}$.

एक धनात्मक स्थिरांक $a$ के लिए $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए,जहाँ $y = a^{t+\frac{1}{t}}$ और $x = \left(t+\frac{1}{t}\right)^{a}$ है।

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