વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે,[x] એ x થી નાની અથવા ત | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે $f(x) = [x] \sin(\pi x)$.$1$. વિકલનીયતા: $f(x)$ એ સ્ટેપ ફંક્શન અને ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો ગુણાકાર છે. તે તમામ પૂર્ણાંકો $n \in \mathbb{Z}$ (

Vedclass · Accepted Answer

દરેક વાસ્તવિક $\alpha$ માટે,સમીકરણ $f(x) - \alpha = 0$ ને અનંત ઉકેલો છે.

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે $f(x) = [x] \sin(\pi x)$.$1$. વિકલનીયતા: $f(x)$ એ સ્ટેપ ફંક્શન અને ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો ગુણાકાર છે. તે તમામ પૂર્ણાંકો $n \in \mathbb{Z}$ (સિવાય કે $n=0$) પર અસતત છે. વિકલનીયતા માટે સતત હોવું જરૂરી છે,તેથી $f(x)$ એ $\mathbb{R}$ પર વિકલનીય નથી.$2$. સંમિતિ: $f(-x) = [-x] \sin(-\pi x) = -[-x] \sin(\pi x)$. $x 
otin \mathbb{Z}$ માટે $[-x] = -[x] - 1$ હોવાથી,$f(-x) = ([x] + 1) \sin(\pi x) 
eq f(x)$. તેથી,તે $x=0$ ની સાપેક્ષ સંમિત નથી.$3$. સંકલન: $\int_{-3}^{3} [x] \sin(\pi x) \, dx = \sum_{k=-3}^{2} \int_{k}^{k+1} k \sin(\pi x) \, dx = \sum_{k=-3}^{2} k \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} ight]_{k}^{k+1} = \sum_{k=-3}^{2} \frac{k}{\pi} ((-1)^k - (-1)^{k+1}) = \sum_{k=-3}^{2} \frac{2k(-1)^k}{\pi} = \frac{2}{\pi} [3 - 2 + 1 - 0 - 1 + 2] = \frac{6}{\pi} 
eq 0$.$4$. ઉકેલો: કોઈપણ $\alpha$ માટે,વિધેય $f(x)$ એ $[x]$ દ્વારા નક્કી થતી કિંમતો વચ્ચે દોલન કરે છે. $\sin(\pi x)$ આવર્તિત હોવાથી અને $[x]$ પૂર્ણાંક કિંમતો લેતું હોવાથી,વિધેય $f(x)$ અનંત વખત $\alpha$ કિંમત ધારણ કરશે. તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

Similar Questions

જો $x > 2$ માટે $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 2\sqrt{2x - 4}}} + \frac{1}{\sqrt{x - 2\sqrt{2x - 4}}}$ હોય,તો $f(11) = $

ધારો કે $f(x) = [x]^2 - [x+3] - 3, x \in \mathbb{R}$, જ્યાં $[\bullet]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. તો:

નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

જો $f(x)=2\{x\}+5x$ હોય,જ્યાં $\{x\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય (fractional part function) છે,તો $f(-1.4)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module