सभी $n \in N$ के लिए,$(n+24)(n+25)(n+26)(n+27)$ का गुणनफल हमेशा किससे विभाज्य है?

$0, 2, 4, 5$ अंकों का उपयोग करके (बिना पुनरावृत्ति के) बनाई गई चार अंकों की ऐसी संख्याएँ जो $5$ से विभाज्य नहीं हैं,उनकी संख्या क्या है?

मान लीजिए $m$ एक ऐसी प्राकृतिक संख्या है कि $20000 < m < 60000$ और $k$,$m$ के सभी अंकों का योग है। तो $m$ की उन संख्याओं की संख्या जिनके लिए $k$ सम है,है

$^n{P_r} \div ^n{C_r} = $

$100 \leq n \leq 999$ के बीच उन पूर्णांकों $n$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें अधिकतम दो भिन्न अंक हों:

अंकों $1, 3, 5, 6, 8$ का उपयोग करके तीन और चार अंकों की संख्याएँ बनाई जाती हैं। यदि $e_1$ तीन अंकों की सम संख्याओं की संख्या है जिसमें कोई अंक दोहराया नहीं गया है और $e_2$ चार अंकों की सम संख्याओं की संख्या है जिसमें कोई अंक दोहराया नहीं गया है। साथ ही,$O_1$ तीन अंकों की विषम संख्याओं की संख्या को दर्शाता है जिसमें कोई अंक दोहराया नहीं गया है और $O_2$ चार अंकों की विषम संख्याओं की संख्या को दर्शाता है जिसमें कोई अंक दोहराया नहीं गया है। तो: