सभी n in N के लिए,2^{2n+1} + 3^{2n+1} किससे व | vedclass

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Question

(B) माना $P(n)$ कथन $2^{2n+1} + 3^{2n+1}$ है।$n = 1$ के लिए:$P(1) = 2^{2(1)+1} + 3^{2(1)+1} = 2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35$.चूंकि $35$,$5$ से विभाज्य है,इस

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$5$

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(B) माना $P(n)$ कथन $2^{2n+1} + 3^{2n+1}$ है।$n = 1$ के लिए:$P(1) = 2^{2(1)+1} + 3^{2(1)+1} = 2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35$.चूंकि $35$,$5$ से विभाज्य है,इसलिए $P(1)$ सत्य है।माना किसी $m \in N$ के लिए $P(m)$ सत्य है,अर्थात $2^{2m+1} + 3^{2m+1} = 5k$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।तब $2^{2m+1} = 5k - 3^{2m+1} \quad (i)$.अब,$P(m+1)$ के लिए:$P(m+1) = 2^{2(m+1)+1} + 3^{2(m+1)+1} = 2^{2m+3} + 3^{2m+3}$.$P(m+1) = 2^2 \cdot 2^{2m+1} + 3^2 \cdot 3^{2m+1}$.$(i)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:$P(m+1) = 4(5k - 3^{2m+1}) + 9 \cdot 3^{2m+1}$.$P(m+1) = 20k - 4 \cdot 3^{2m+1} + 9 \cdot 3^{2m+1}$.$P(m+1) = 20k + 5 \cdot 3^{2m+1} = 5(4k + 3^{2m+1})$.चूंकि $5(4k + 3^{2m+1})$,$5$ से विभाज्य है,इसलिए $P(m+1)$ सत्य है।गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,सभी $n \in N$ के लिए $2^{2n+1} + 3^{2n+1}$,$5$ से विभाज्य है।

सभी $n \in N$ के लिए,$2^{2n+1} + 3^{2n+1}$ किससे विभाज्य है?

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