किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए,मान लीजिए $\alpha_k = \cos \left(\frac{k \pi}{7}\right) + i \sin \left(\frac{k \pi}{7}\right)$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है। व्यंजक $\frac{\sum_{k=1}^{12} |\alpha_{k+1} - \alpha_k|}{\sum_{k=1}^3 |\alpha_{4k-1} - \alpha_{4k-2}|}$ का मान है

यदि $z=x+iy$ एक सम्मिश्र संख्या है जो $\left|z+\frac{i}{2}\right|^2=\left|z-\frac{i}{2}\right|^2$ को संतुष्ट करती है,तो $z$ का बिंदु पथ क्या है?

यदि ${z_1}, {z_2}, {z_3}$ तीन शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि ${z_2} \neq {z_1}$,$a = |{z_1}|$,$b = |{z_2}|$,और $c = |{z_3}|$ है। मान लीजिए कि $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array}} \right| = 0$,तो $arg\left( {\frac{{{z_3}}}{{{z_2}}}} \right)$ किसके बराबर है?

यदि वृत्त $\left|\frac{z-2}{z-3}\right|=2$ का केंद्र और त्रिज्या क्रमशः $(\alpha, \beta)$ और $\gamma$ हैं,तो $3(\alpha+\beta+\gamma)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $P$,आर्गंड आरेख में सम्मिश्र संख्या $\sqrt{3}+i$ के संगत बिंदु है और यदि $OPQ$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,जिसका समकोण $O$ पर है,तो $Q$ किस सम्मिश्र संख्या को दर्शाता है?

मान लीजिए $\omega = z \bar{z} + k_1 z + k_2 i z + \lambda(1 + i)$,जहाँ $k_1, k_2 \in R$ है। मान लीजिए $\operatorname{Re}(\omega) = 0$ प्रथम चतुर्थांश में $y = 1$ रेखा और $y$-अक्ष को स्पर्श करने वाला $1$ त्रिज्या का वृत्त $C$ है। यदि वक्र $\operatorname{Im}(\omega) = 0$ वृत्त $C$ को $A$ और $B$ पर काटता है,तो $30(AB)^2$ का मान $.......$ है।