यदि वृत्त left|frac{z-2}{z-3}right|=2 का केंद | vedclass

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Question

(D) माना $z = x + iy$. दिया गया समीकरण $\left|\frac{x+iy-2}{x+iy-3}\right|=2$ है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{(x-2)^2+y^2}{(x-3)^2+y^2}=4$ प्रा

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$12$

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(D) माना $z = x + iy$. दिया गया समीकरण $\left|\frac{x+iy-2}{x+iy-3}\right|=2$ है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{(x-2)^2+y^2}{(x-3)^2+y^2}=4$ प्राप्त होता है।$(x-2)^2+y^2 = 4((x-3)^2+y^2)$.$x^2-4x+4+y^2 = 4(x^2-6x+9+y^2)$.$x^2-4x+4+y^2 = 4x^2-24x+36+4y^2$.$3x^2+3y^2-20x+32=0$.$3$ से भाग देने पर,$x^2+y^2-\frac{20}{3}x+\frac{32}{3}=0$ प्राप्त होता है।मानक रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-\frac{10}{3}$ और $f=0$ है।केंद्र $(\alpha, \beta) = (-g, -f) = \left(\frac{10}{3}, 0\right)$ है।त्रिज्या $\gamma = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{\left(\frac{10}{3}\right)^2 - \frac{32}{3}} = \sqrt{\frac{100}{9} - \frac{96}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ है।अतः,$3(\alpha+\beta+\gamma) = 3\left(\frac{10}{3} + 0 + \frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{12}{3}\right) = 12$।

यदि वृत्त $\left|\frac{z-2}{z-3}\right|=2$ का केंद्र और त्रिज्या क्रमशः $(\alpha, \beta)$ और $\gamma$ हैं,तो $3(\alpha+\beta+\gamma)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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