यदि P(x)=0 पूर्णांक गुणांकों वाला न्यूनतम घात | vedclass

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Question

(C) माना $\alpha = \sqrt{2}+\sqrt{3} i$ है। चूंकि गुणांक पूर्णांक हैं,इसलिए इसका संयुग्मी $\bar{\alpha} = \sqrt{2}-\sqrt{3} i$ भी एक मूल होगा। इसके अत

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$x^4+2 x^2+25=0$

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(C) माना $\alpha = \sqrt{2}+\sqrt{3} i$ है। चूंकि गुणांक पूर्णांक हैं,इसलिए इसका संयुग्मी $\bar{\alpha} = \sqrt{2}-\sqrt{3} i$ भी एक मूल होगा। इसके अतिरिक्त,चूंकि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है,इसलिए $-\sqrt{2}+\sqrt{3} i$ और $-\sqrt{2}-\sqrt{3} i$ भी मूल होंगे। बहुपद इस प्रकार है: $(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3} i))(x-(\sqrt{2}-\sqrt{3} i))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3} i))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3} i)) = 0$ पदों को व्यवस्थित करने पर: $((x-\sqrt{2})-\sqrt{3} i)((x-\sqrt{2})+\sqrt{3} i) 	imes ((x+\sqrt{2})-\sqrt{3} i)((x+\sqrt{2})+\sqrt{3} i) = 0$ $((x-\sqrt{2})^2 + 3)((x+\sqrt{2})^2 + 3) = 0$ $(x^2 - 2\sqrt{2}x + 5)(x^2 + 2\sqrt{2}x + 5) = 0$ $(x^2+5)^2 - (2\sqrt{2}x)^2 = 0$ $x^4 + 10x^2 + 25 - 8x^2 = 0$ $x^4 + 2x^2 + 25 = 0$

यदि $P(x)=0$ पूर्णांक गुणांकों वाला न्यूनतम घात का बहुपद समीकरण है और $\sqrt{2}+\sqrt{3} i$ इसका एक मूल है,तो वह समीकरण है

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मान लीजिए $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $|z-6|=5$ और $|z+2-6i|=5$ है। तो $z^{3}+3z^{2}-15z+141$ का मान ज्ञात कीजिए।

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सम्मिश्र तल (complex plane) में किसी $Circle$ का समीकरण $z \bar{z} + b \bar{z} + \bar{b} z + c = 0$ के रूप में होता है,जहाँ $b \in \mathbb{C}$ और $c \in \mathbb{R}$ है।

समुच्चय $\{ z = a + ib \in \mathbb{C} : a, b \in \mathbb{Z} \text{ और } 1 < |z - 3 + 2i| < 4 \}$ में अवयवों की संख्या क्या है?

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