किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,सिद्ध कीजिए कि $n^{3}-n$,$6$ से विभाज्य है।

(N/A) हम व्यंजक $n^{3}-n$ का गुणनखंड इस प्रकार कर सकते हैं:
$n^{3}-n = n(n^{2}-1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)$.
यह व्यंजक तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल दर्शाता है।
किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,कम से कम एक संख्या सम ($2$ से विभाज्य) होती है और ठीक एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है।
चूंकि इस गुणनफल में $2$ और $3$ दोनों का गुणनखंड मौजूद है,इसलिए पूरा गुणनफल $2 \times 3 = 6$ से विभाज्य होना चाहिए।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $n^{3}-n$,$6$ से विभाज्य है।