-10 leq x leq 10 के वास्तविक x के लिए,f(x) = | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = \int_{-10}^x 2^{[t]} dt$ एक स्टेप फलन का समाकलन है। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,यदि $g(t) = 2^{[t]}$ है,तो $f(x) = \int_{-10}^x g(t

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(A) फलन $f(x) = \int_{-10}^x 2^{[t]} dt$ एक स्टेप फलन का समाकलन है। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,यदि $g(t) = 2^{[t]}$ है,तो $f(x) = \int_{-10}^x g(t) dt$ हर जगह सतत है यदि समाकल्य $g(t)$ समाकलनीय है। चूंकि $g(t) = 2^{[t]}$ एक टुकड़ों में अचर फलन है,यह पूर्णांकों को छोड़कर हर जगह सतत है। हालाँकि,एक टुकड़ों में सतत फलन का समाकलन हमेशा सतत होता है। विशेष रूप से,किसी भी पूर्णांक $n \in (-10, 10)$ के लिए,बाएँ हाथ की सीमा $\lim_{x 	o n^-} f(x) = \int_{-10}^n 2^{[t]} dt$ है और दाएँ हाथ की सीमा $\lim_{x 	o n^+} f(x) = \int_{-10}^n 2^{[t]} dt + \lim_{x 	o n^+} \int_n^x 2^n dt = \int_{-10}^n 2^{[t]} dt + 0 = f(n)$ है। चूंकि अंतराल $(-10, 10)$ में प्रत्येक बिंदु $x$ पर बाएँ हाथ की सीमा,दाएँ हाथ की सीमा और फलन का मान समान है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल में हर जगह सतत है। अतः,असातत्य बिंदुओं की संख्या $0$ है।

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मान लीजिए $S_n = 1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + \ldots$ ($n$ पद) और $-\frac{1}{3} < x < \frac{1}{3}$ है। यदि $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n = f(x)$ है,तो $f(x)$ बिंदु $x =$ पर असंतत है।

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