फलन f(x) = frac{1}{x + 2^{frac{1}{x - 2}}},x | vedclass

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Question

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $f$,$x = 2$ पर सतत हो सकता है,हम सीमा $\lim_{x 	o 2} f(x)$ की जाँच करते हैं।बाएँ हाथ की सीमा पर विचार करें: $\li

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$f$,$x = 2$ पर सतत नहीं हो सकता है

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(C) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $f$,$x = 2$ पर सतत हो सकता है,हम सीमा $\lim_{x 	o 2} f(x)$ की जाँच करते हैं।बाएँ हाथ की सीमा पर विचार करें: $\lim_{x 	o 2^-} f(x) = \lim_{x 	o 2^-} \frac{1}{x + 2^{\frac{1}{x - 2}}}$.जैसे $x 	o 2^-$,$(x - 2) 	o 0^-$,इसलिए $\frac{1}{x - 2} 	o -\infty$.अतः,$2^{\frac{1}{x - 2}} 	o 2^{-\infty} = 0$.इसलिए,$\lim_{x 	o 2^-} f(x) = \frac{1}{2 + 0} = 1/2$.अब दाएँ हाथ की सीमा पर विचार करें: $\lim_{x 	o 2^+} f(x) = \lim_{x 	o 2^+} \frac{1}{x + 2^{\frac{1}{x - 2}}}$.जैसे $x 	o 2^+$,$(x - 2) 	o 0^+$,इसलिए $\frac{1}{x - 2} 	o +\infty$.अतः,$2^{\frac{1}{x - 2}} 	o 2^{+\infty} = \infty$.इसलिए,$\lim_{x 	o 2^+} f(x) = \frac{1}{2 + \infty} = 0$.चूंकि $\lim_{x 	o 2^-} f(x) 
eq \lim_{x 	o 2^+} f(x)$,इसलिए $x = 2$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।परिणामस्वरूप,$f(2)$ को कोई भी मान देने पर भी $f$,$x = 2$ पर सतत नहीं हो सकता है।

फलन $f(x) = \frac{1}{x + 2^{\frac{1}{x - 2}}}$,$x \neq 2$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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यदि $f(x) = \frac{e^{x^2} - \cos x}{x^2}$ जहाँ $x \neq 0$,$x = 0$ पर सतत है,तो $f(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \frac{\log (1+x)^{1+x}}{x^2} - \frac{1}{x}, x \neq 0$ द्वारा परिभाषित फलन $x=0$ पर सतत है,तो $6 f(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{यदि } x \leq 0 \\ x^2+a^2, & \text{यदि } 0 < x < 1 \\ bx+2, & \text{यदि } 1 \leq x \leq 2 \\ 0, & \text{यदि } x > 2 \end{cases}$ $\mathbb{R}$ पर सतत है, तो $a+b+ab = $

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} \frac{x + 2}{x^2 + 3 x + 2}, & x \in R - \{-1, -2\} \\ -1, & x = -2 \\ 0, & x = -1 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $f$ किस समुच्चय पर सतत है?

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