एक बिंदु P(lambda, lambda, lambda) से,रेखाओं | vedclass

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Question

(C) पहली रेखा $L_1: \frac{x}{1} = \frac{y}{1}, z=1$ है। $L_1$ पर कोई बिंदु $Q$ $(\alpha, \alpha, 1)$ है।$PQ$ के दिक अनुपात $(\alpha-\lambda, \alpha-\l

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$-1$

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(C) पहली रेखा $L_1: \frac{x}{1} = \frac{y}{1}, z=1$ है। $L_1$ पर कोई बिंदु $Q$ $(\alpha, \alpha, 1)$ है।$PQ$ के दिक अनुपात $(\alpha-\lambda, \alpha-\lambda, 1-\lambda)$ हैं।चूंकि $PQ$,$L_1$ (दिश सदिश $(1, 1, 0)$) के लंबवत है,इसलिए $(\alpha-\lambda)(1) + (\alpha-\lambda)(1) + (1-\lambda)(0) = 0$,जिससे $2(\alpha-\lambda) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = \lambda$.इस प्रकार,$Q = (\lambda, \lambda, 1)$ और सदिश $\vec{PQ} = (0, 0, 1-\lambda)$ है।दूसरी रेखा $L_2: \frac{x}{-1} = \frac{y}{1}, z=-1$ है। $L_2$ पर कोई बिंदु $R$ $(-\beta, \beta, -1)$ है।$PR$ के दिक अनुपात $(-\beta-\lambda, \beta-\lambda, -1-\lambda)$ हैं।चूंकि $PR$,$L_2$ (दिश सदिश $(-1, 1, 0)$) के लंबवत है,इसलिए $(-\beta-\lambda)(-1) + (\beta-\lambda)(1) + (-1-\lambda)(0) = 0$,जिससे $\beta+\lambda+\beta-\lambda = 0$ प्राप्त होता है,अतः $2\beta = 0$,यानी $\beta = 0$.इस प्रकार,$R = (0, 0, -1)$ और सदिश $\vec{PR} = (-\lambda, -\lambda, -1-\lambda)$ है।दिया गया है कि $\angle QPR = 90^\circ$,इसलिए $\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 0$.$(0)(-\lambda) + (0)(-\lambda) + (1-\lambda)(-1-\lambda) = 0$.$-(1-\lambda)(1+\lambda) = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm 1$.यदि $\lambda = 1$ है,तो $P = (1, 1, 1)$,जो $L_1$ पर स्थित है,इसलिए $PQ$ अद्वितीय रूप से परिभाषित नहीं है। अतः,$\lambda = -1$ ही एकमात्र समाधान है।

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