दिया गया है कि $(x^{1/3} - x^{-1/2})^{15}$ के विस्तार में वह पद जिसमें $x$ नहीं है,$5m$ है,जहाँ $m \in N$,तो $m =$

$(x+1)^{n}$ के विस्तार में $(r-1)^{th}$,$r^{th}$ और $(r+1)^{th}$ पदों के गुणांक $1:3:5$ के अनुपात में हैं। $n$ और $r$ ज्ञात कीजिए।

यदि $n$ एक सम धनात्मक पूर्णांक है,तो $(1 + x)^n$ के विस्तार में महत्तम पद का गुणांक भी महत्तम हो,इसके लिए शर्त है:

मान लीजिए $\alpha > 0, \beta > 0$ इस प्रकार हैं कि $\alpha^{3} + \beta^{2} = 4$ है। यदि $(\alpha x^{\frac{1}{9}} + \beta x^{-\frac{1}{6}})^{10}$ के द्विपद विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद का अधिकतम मान $10k$ है,तो $k$ का मान क्या है?

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है और $C_k = {^nC_k}$ है,तो $\sum\limits_{k = 1}^n {k^3\left( {\frac{C_k}{C_{k - 1}}} \right)^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(ax^2+\frac{1}{bx})^{13}$ के विस्तार में $x^5$ का गुणांक और $(ax-\frac{1}{bx^2})^{13}$ के विस्तार में $x^{-5}$ का गुणांक समान है,तो $ab=$