જો $A$ અને $B$ બિંદુઓ અનુક્રમે $(3, 4, 5)$ અને $(-1, 3, -7)$ હોય,તો બિંદુઓ $P$ ના સમૂહનું સમીકરણ શોધો કે જેથી $PA^{2} + PB^{2} = k^{2}$ થાય,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.

ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
આપેલ છે કે $A = (3, 4, 5)$ અને $B = (-1, 3, -7)$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PA^{2} = (x-3)^{2} + (y-4)^{2} + (z-5)^{2} = x^{2} - 6x + 9 + y^{2} - 8y + 16 + z^{2} - 10z + 25 = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 8y - 10z + 50$.
તે જ રીતે,$PB^{2} = (x+1)^{2} + (y-3)^{2} + (z+7)^{2} = x^{2} + 2x + 1 + y^{2} - 6y + 9 + z^{2} + 14z + 49 = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 6y + 14z + 59$.
શરત $PA^{2} + PB^{2} = k^{2}$ મુજબ:
$(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 8y - 10z + 50) + (x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 6y + 14z + 59) = k^{2}$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} - 4x - 14y + 4z + 109 = k^{2}$.
$2$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 7y + 2z = \frac{k^{2} - 109}{2}$.