यदि $A$ और $B$ बिंदु क्रमशः $(3, 4, 5)$ और $(-1, 3, -7)$ हैं,तो बिंदुओं $P$ के समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए ताकि $PA^{2} + PB^{2} = k^{2}$ हो,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।

माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
दिया है $A = (3, 4, 5)$ और $B = (-1, 3, -7)$।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$PA^{2} = (x-3)^{2} + (y-4)^{2} + (z-5)^{2} = x^{2} - 6x + 9 + y^{2} - 8y + 16 + z^{2} - 10z + 25 = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 8y - 10z + 50$।
इसी प्रकार,$PB^{2} = (x+1)^{2} + (y-3)^{2} + (z+7)^{2} = x^{2} + 2x + 1 + y^{2} - 6y + 9 + z^{2} + 14z + 49 = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 6y + 14z + 59$।
शर्त $PA^{2} + PB^{2} = k^{2}$ के अनुसार:
$(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 8y - 10z + 50) + (x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 6y + 14z + 59) = k^{2}$।
समान पदों को जोड़ने पर:
$2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} - 4x - 14y + 4z + 109 = k^{2}$।
$2$ से भाग देने पर:
$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 7y + 2z = \frac{k^{2} - 109}{2}$।