જો I_{1} = int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપણને આપેલ છે $I_{1} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx$ અને $I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{101} dx$. આપણે $I_{2}$ ને આ રીતે લખી શકીએ: $I_{

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{5050}{5051}$

Vedclass · Answer

(A) આપણને આપેલ છે $I_{1} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx$ અને $I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{101} dx$. આપણે $I_{2}$ ને આ રીતે લખી શકીએ: $I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50}) (1 - x^{50})^{100} dx$ $I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx - \int_{0}^{1} x^{50} (1 - x^{50})^{100} dx$ $I_{2} = I_{1} - \int_{0}^{1} x \cdot (x^{49} (1 - x^{50})^{100}) dx$ બીજા સંકલન માટે ખંડશઃ સંકલન (Integration by Parts - $IBP$) નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = x$ અને $dv = x^{49} (1 - x^{50})^{100} dx$. તેથી $du = dx$ અને $v = \int x^{49} (1 - x^{50})^{100} dx$. ધારો કે $1 - x^{50} = t$,તો $-50x^{49} dx = dt$,તેથી $x^{49} dx = -\frac{dt}{50}$. $v = \int t^{100} (-\frac{dt}{50}) = -\frac{t^{101}}{5050} = -\frac{(1 - x^{50})^{101}}{5050}$. $IBP$ લાગુ કરતા: $\int_{0}^{1} x \cdot (x^{49} (1 - x^{50})^{100}) dx = [x \cdot (-\frac{(1 - x^{50})^{101}}{5050})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (-\frac{(1 - x^{50})^{101}}{5050}) dx$ $= [0 - 0] + \frac{1}{5050} \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{101} dx = \frac{1}{5050} I_{2}$. આ કિંમતને $I_{2}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $I_{2} = I_{1} - \frac{1}{5050} I_{2}$ $I_{2} (1 + \frac{1}{5050}) = I_{1}$ $I_{2} (\frac{5051}{5050}) = I_{1}$ $I_{2} = \frac{5050}{5051} I_{1}$. કારણ કે $I_{2} = \alpha I_{1}$,તેથી $\alpha = \frac{5050}{5051}$.

જો $I_{1} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx$ અને $I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{101} dx$ હોય અને $I_{2} = \alpha I_{1}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

$\int_{5 \pi}^{25 \pi}|\sin 2 x+\cos 2 x| d x=$ ($\sqrt{2}$ માં)

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left[\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}}\right] dx =$

$\int_0^{1000} e^{x-[x]} \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[7]{\sin x}}{\sqrt[7]{\sin x}+\sqrt[7]{\cos x}} dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module