यदि alpha और beta समीकरण x^2 - 4sqrt{2}kx + 2 | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण $x^2 - 4\sqrt{2}kx + 2e^{4\ln k} - 1 = 0$ है।चूंकि $e^{4\ln k} = k^4$, समीकरण $x^2 - 4\sqrt{2}kx + 2k^4 - 1 = 0$ हो जाता है।मूलों

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$-280$

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(D) दिया गया समीकरण $x^2 - 4\sqrt{2}kx + 2e^{4\ln k} - 1 = 0$ है।चूंकि $e^{4\ln k} = k^4$, समीकरण $x^2 - 4\sqrt{2}kx + 2k^4 - 1 = 0$ हो जाता है।मूलों के गुणधर्मों के अनुसार, $\alpha + \beta = 4\sqrt{2}k$ और $\alpha\beta = 2k^4 - 1$ है।हमें $\alpha^2 + \beta^2 = 66$ दिया गया है।सर्वसमिका $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta$ का उपयोग करने पर:$(4\sqrt{2}k)^2 = 66 + 2(2k^4 - 1)$$32k^2 = 66 + 4k^4 - 2$$4k^4 - 32k^2 + 64 = 0$$4$ से भाग देने पर, $k^4 - 8k^2 + 16 = 0$ प्राप्त होता है, जो $(k^2 - 4)^2 = 0$ है।अतः, $k^2 = 4$, जिसका अर्थ है $k = 2$ या $k = -2$ है।अब, $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 + \beta^2 - \alpha\beta)$ है।मान रखने पर: $\alpha^3 + \beta^3 = (4\sqrt{2}k)(66 - (2k^4 - 1)) = (4\sqrt{2}k)(67 - 2k^4)$।यदि $k = 2$ है, तो $\alpha^3 + \beta^3 = (8\sqrt{2})(35) = 280\sqrt{2}$।यदि $k = -2$ है, तो $\alpha^3 + \beta^3 = (-8\sqrt{2})(35) = -280\sqrt{2}$।दिए गए विकल्पों के अनुसार, सही उत्तर $-280\sqrt{2}$ है।

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 - 4\sqrt{2}kx + 2e^{4\ln k} - 1 = 0$ के मूल हैं और $\alpha^2 + \beta^2 = 66$ है, तो $\alpha^3 + \beta^3$ का मान ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{2}$ में)

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$k$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $x^2 - x + 3k = 0$ का एक मूल,$x^2 - x + k = 0$ के एक मूल का दोगुना हो।

दिए गए दो समीकरणों को हल करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
$I.$ $(289)^{\frac{1}{2}} x - \sqrt{324} = 203$
$II.$ $(484)^{\frac{1}{2}} y - \sqrt{225} = 183$

मान लीजिए $p, q, r \in \mathbb{R}$ और $r > p > 0.$ यदि द्विघात समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ के दो सम्मिश्र मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,तो $|\alpha| + |\beta|$ क्या है?

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