यदि a_1, a_2, a_3, ..., a_n एक A.P. में हैं,ज | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $a_1, a_2, ..., a_n$ एक $A.P.$ में हैं जिसका सार्व अंतर $d = a_{i+1} - a_i$ है।हम जानते हैं कि $a_n = a_1 + (n-1)d$,जिसका अर्थ है क

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$\frac{n-1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_n}}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $a_1, a_2, ..., a_n$ एक $A.P.$ में हैं जिसका सार्व अंतर $d = a_{i+1} - a_i$ है।हम जानते हैं कि $a_n = a_1 + (n-1)d$,जिसका अर्थ है कि $(n-1)d = a_n - a_1$.योग $S = \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{a_i} + \sqrt{a_{i+1}}}$ के प्रत्येक पद का परिमेयकरण करने पर:$S = \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\sqrt{a_{i+1}} - \sqrt{a_i}}{a_{i+1} - a_i} = \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\sqrt{a_{i+1}} - \sqrt{a_i}}{d}$$S = \frac{1}{d} [(\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + ... + (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}})]$यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $S = \frac{1}{d} (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})$.अंश और हर को $(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1})$ से गुणा करने पर:$S = \frac{1}{d} \cdot \frac{(\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1})}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1}} = \frac{1}{d} \cdot \frac{a_n - a_1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1}}$चूंकि $a_n - a_1 = (n-1)d$,इसलिए:$S = \frac{1}{d} \cdot \frac{(n-1)d}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1}} = \frac{n-1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_n}}$.

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