यदि a, b, c हरात्मक श्रेणी (H.P.) में हैं,तो | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।परिभाषा के अनुसार,$b = \frac{2ac}{a+c}$।हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $a$ औ

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$a^2 + c^2 > 2b^2$

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(C) दिया गया है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।परिभाषा के अनुसार,$b = \frac{2ac}{a+c}$।हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $c$ के लिए,समांतर माध्य $(A.M.)$ हरात्मक माध्य $(H.M.)$ से बड़ा होता है।$A.M. = \frac{a+c}{2}$ और $H.M. = b$।अतः,$\frac{a+c}{2} > b$।पावर मीन असमिका का उपयोग करते हुए,$n=2$ के लिए,वर्ग माध्य हरात्मक माध्य से बड़ा होता है।वैकल्पिक रूप से,व्यंजक $a^2 + c^2 - 2b^2$ पर विचार करें।$b = \frac{2ac}{a+c}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $a^2 + c^2 - 2(\frac{2ac}{a+c})^2 = a^2 + c^2 - \frac{8a^2c^2}{(a+c)^2}$।$= \frac{(a^2+c^2)(a+c)^2 - 8a^2c^2}{(a+c)^2} = \frac{(a^2+c^2)(a^2+c^2+2ac) - 8a^2c^2}{(a+c)^2}$।$= \frac{(a^2+c^2)^2 + 2ac(a^2+c^2) - 8a^2c^2}{(a+c)^2} = \frac{(a^2-c^2)^2 + 2ac(a-c)^2}{(a+c)^2}$।चूंकि यह व्यंजक $a 
eq c$ के लिए हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $a^2 + c^2 > 2b^2$ है।

यदि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो

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