यदि (10)^9 + 2(11)^1(10)^8 + 3(11)^2(10)^7 + | vedclass

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Question

(A) माना दी गई श्रेणी $S = 10^9 + 2(11)^1(10)^8 + 3(11)^2(10)^7 + \dots + 10(11)^9 = k(10)^9$ है।दोनों पक्षों को $10^9$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्

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$100$

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(A) माना दी गई श्रेणी $S = 10^9 + 2(11)^1(10)^8 + 3(11)^2(10)^7 + \dots + 10(11)^9 = k(10)^9$ है।दोनों पक्षों को $10^9$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$k = 1 + 2\left(\frac{11}{10}\right) + 3\left(\frac{11}{10}\right)^2 + \dots + 10\left(\frac{11}{10}\right)^9$  ......$(i)$माना $x = \frac{11}{10}$ है। तब $k = 1 + 2x + 3x^2 + \dots + 10x^9$ होगा।$x$ से गुणा करने पर:$xk = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + 9x^9 + 10x^{10}$  ......$(ii)$$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:$k(1 - x) = 1 + x + x^2 + \dots + x^9 - 10x^{10}$$k(1 - x) = \frac{1(x^{10} - 1)}{x - 1} - 10x^{10}$चूँकि $x = \frac{11}{10}$ है,इसलिए $1 - x = -\frac{1}{10}$ और $x - 1 = \frac{1}{10}$ होगा।$k\left(-\frac{1}{10}\right) = \frac{(\frac{11}{10})^{10} - 1}{\frac{1}{10}} - 10\left(\frac{11}{10}\right)^{10}$$k\left(-\frac{1}{10}\right) = 10\left(\frac{11}{10}\right)^{10} - 10 - 10\left(\frac{11}{10}\right)^{10}$$k\left(-\frac{1}{10}\right) = -10$$k = 100$.

यदि $(10)^9 + 2(11)^1(10)^8 + 3(11)^2(10)^7 + ... + 10(11)^9 = k(10)^9$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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