यदि a, b, c in mathbb{R}^+ इस प्रकार हैं कि 2 | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $2a, b, 4c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = 2a + 4c$,जो सरल होकर $b = a + 2c$ देता है।दिया गया है कि $c, a, b$ गुणोत्तर श्रेणी मे

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$c, a, a + 2c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

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(C) दिया गया है कि $2a, b, 4c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = 2a + 4c$,जो सरल होकर $b = a + 2c$ देता है।दिया गया है कि $c, a, b$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $a^2 = bc$ है।दूसरे समीकरण में $b = a + 2c$ रखने पर: $a^2 = (a + 2c)c = ac + 2c^2$ प्राप्त होता है।इसे व्यवस्थित करने पर $a^2 - ac - 2c^2 = 0$ मिलता है।गुणनखंड करने पर: $(a - 2c)(a + c) = 0$ प्राप्त होता है।चूंकि $a, c \in \mathbb{R}^+$,इसलिए $a = 2c$ होगा।अब विकल्पों की जाँच करने पर:विकल्प $C$ के लिए: अनुक्रम $c, a, a + 2c$ है। $a = 2c$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $c, 2c, 4c$ प्राप्त होता है।यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात $2$ है।अतः,$c, a, a + 2c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

यदि $a, b, c \in \mathbb{R}^+$ इस प्रकार हैं कि $2a, b, 4c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं और $c, a, b$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं,तो:

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श्रेणी $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1} + \sqrt{n^2}}$ का योग किसके बराबर है?

$\frac{1}{(1 + a)(2 + a)} + \frac{1}{(2 + a)(3 + a)} + \frac{1}{(3 + a)(4 + a)} + \dots + \infty$ का मान क्या है,(जहाँ $a$ एक स्थिरांक है)।

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श्रेणी $\frac{1}{1} + \frac{1 + 2}{2} + \frac{1 + 2 + 3}{3} + \dots$ का $n^{th}$ पद क्या होगा?

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