यदि f(x)=sin left(cos ^{-1}left(frac{1-2^{2 x | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \sin \left(\cos ^{-1}\left(\frac{1-2^{2x}}{1+2^{2x}}\right)\right)$.मान लीजिए $2^x = t$. तब $f(x) = \sin(\cos^{-1}(\frac{1-t^2

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$481$

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(B) दिया गया है $f(x) = \sin \left(\cos ^{-1}\left(\frac{1-2^{2x}}{1+2^{2x}}ight)ight)$.मान लीजिए $2^x = t$. तब $f(x) = \sin(\cos^{-1}(\frac{1-t^2}{1+t^2}))$.हम जानते हैं कि $t \ge 0$ के लिए $\cos^{-1}(\frac{1-t^2}{1+t^2}) = 2	an^{-1}(t)$ होता है।अतः,$f(x) = \sin(2	an^{-1}(2^x))$.सर्वसमिका $\sin(2	heta) = \frac{2	an	heta}{1+	an^2	heta}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $	heta = 	an^{-1}(2^x)$,हमें $	an	heta = 2^x$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,$f(x) = \frac{2(2^x)}{1+(2^x)^2} = \frac{2 \cdot 2^x}{1+2^{2x}}$.अब,भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:$f'(x) = \frac{(1+2^{2x}) \cdot \frac{d}{dx}(2 \cdot 2^x) - (2 \cdot 2^x) \cdot \frac{d}{dx}(1+2^{2x})}{(1+2^{2x})^2}$.$f'(x) = \frac{(1+2^{2x})(2 \cdot 2^x \ln 2) - (2 \cdot 2^x)(2^{2x} \ln 2 \cdot 2)}{(1+2^{2x})^2}$.$x=1$ पर,$2^x = 2$ और $2^{2x} = 4$.$f'(1) = \frac{(1+4)(2 \cdot 2 \ln 2) - (2 \cdot 2)(4 \ln 2 \cdot 2)}{(1+4)^2} = \frac{5(4 \ln 2) - 4(8 \ln 2)}{25} = \frac{20 \ln 2 - 32 \ln 2}{25} = -\frac{12}{25} \ln 2$.$-\frac{b}{a} \ln 2$ से तुलना करने पर,$b=12$ और $a=25$ प्राप्त होता है।अतः,$|a^2 - b^2| = |25^2 - 12^2| = |625 - 144| = 481$.

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