यदि frac{dy}{dx} = frac{2^{x+y} - 2^{x}}{2^{y | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2^{x} \cdot 2^{y} - 2^{x}}{2^{y}}$.चरों को अलग करने पर: $\frac{2^{y}}{2^{y}-1} dy = 2^{x} dx$.दोनों प

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$\log_{2}(1+e)$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2^{x} \cdot 2^{y} - 2^{x}}{2^{y}}$.चरों को अलग करने पर: $\frac{2^{y}}{2^{y}-1} dy = 2^{x} dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2^{y}}{2^{y}-1} dy = \int 2^{x} dx$.माना $u = 2^{y}-1$,तब $du = 2^{y} \ln(2) dy$,इसलिए $\int \frac{du}{u \ln(2)} = \frac{2^{x}}{\ln(2)} + C$.यह सरल होकर प्राप्त होता है: $\frac{1}{\ln(2)} \ln(2^{y}-1) = \frac{2^{x}}{\ln(2)} + C$.$\ln(2)$ से गुणा करने पर: $\ln(2^{y}-1) = 2^{x} + C'$.$y(0) = 1$ का उपयोग करने पर: $\ln(2^{1}-1) = 2^{0} + C' \Rightarrow \ln(1) = 1 + C' \Rightarrow 0 = 1 + C' \Rightarrow C' = -1$.अतः,$\ln(2^{y}-1) = 2^{x} - 1$.$x=1$ के लिए: $\ln(2^{y}-1) = 2^{1} - 1 = 1$.$2^{y}-1 = e^{1} \Rightarrow 2^{y} = e+1$.दोनों पक्षों में $\log_{2}$ लेने पर: $y = \log_{2}(e+1)$.

यदि $\frac{dy}{dx} = \frac{2^{x+y} - 2^{x}}{2^{y}}$ और $y(0) = 1$ है,तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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