यदि lim _{x rightarrow 1^{+}} frac{(x-1)(6+la | vedclass

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Question

(A) माना $x-1 = h$. जैसे $x \rightarrow 1^{+}$,वैसे $h \rightarrow 0^{+}$.सीमा में मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h(6

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$18$

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(A) माना $x-1 = h$. जैसे $x \rightarrow 1^{+}$,वैसे $h \rightarrow 0^{+}$.सीमा में मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h(6+\lambda \cos h) - \mu \sin h}{h^3} = -1$.टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए,$\cos h = 1 - \frac{h^2}{2!} + \dots$ और $\sin h = h - \frac{h^3}{3!} + \dots$,व्यंजक इस प्रकार बनता है:$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h(6 + \lambda(1 - \frac{h^2}{2})) - \mu(h - \frac{h^3}{6})}{h^3} = -1$.$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(6 + \lambda - \mu)h + (\frac{\mu}{6} - \frac{\lambda}{2})h^3}{h^3} = -1$.सीमा के अस्तित्व और $-1$ के बराबर होने के लिए,$h$ का गुणांक $0$ होना चाहिए:$6 + \lambda - \mu = 0 \implies \mu - \lambda = 6$.$h^3$ का गुणांक $-1$ होना चाहिए:$\frac{\mu}{6} - \frac{\lambda}{2} = -1 \implies \mu - 3\lambda = -6$.समीकरणों को हल करने पर: $\mu - \lambda = 6$ और $\mu - 3\lambda = -6$.घटाने पर: $2\lambda = 12 \implies \lambda = 6$.$\lambda = 6$ को $\mu - \lambda = 6$ में रखने पर,$\mu = 12$ प्राप्त होता है।अतः,$\lambda + \mu = 6 + 12 = 18$.

यदि $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{(x-1)(6+\lambda \cos (x-1))+\mu \sin (1-x)}{(x-1)^3}=-1$,जहाँ $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$,तो $\lambda+\mu$ का मान ज्ञात कीजिए।

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