यदि I_n = int_0^{frac{pi}{4}} tan^n theta , d | vedclass

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Question

(C) हमें दिया गया है $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 	an^n 	heta \, d	heta$। योग $I_n + I_{n-2} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (	an^n 	heta + 	an^{n-2}

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$\frac{1}{11}$

Vedclass · Answer

(C) हमें दिया गया है $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 	an^n 	heta \, d	heta$। योग $I_n + I_{n-2} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (	an^n 	heta + 	an^{n-2} 	heta) \, d	heta$ पर विचार करें। $	an^{n-2} 	heta$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $I_n + I_{n-2} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 	an^{n-2} 	heta (	an^2 	heta + 1) \, d	heta$। चूंकि $1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$,इसलिए: $I_n + I_{n-2} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 	an^{n-2} 	heta \sec^2 	heta \, d	heta$। मान लीजिए $u = 	an 	heta$,तो $du = \sec^2 	heta \, d	heta$। जब $	heta = 0$,तब $u = 0$ और जब $	heta = \frac{\pi}{4}$,तब $u = 1$। अतः,$I_n + I_{n-2} = \int_0^1 u^{n-2} \, du = \left[ \frac{u^{n-1}}{n-1} ight]_0^1 = \frac{1}{n-1}$। $n = 12$ के लिए,$I_{12} + I_{10} = \frac{1}{12-1} = \frac{1}{11}$।

यदि $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n \theta \, d\theta$ है,तो $I_{12} + I_{10} =$

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