यदि g(x) = int_0^x cos^4 t ,dt है, तो g(x+pi) | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $g(x) = \int_0^x \cos^4 t \,dt$. हमें $g(x+\pi) = \int_0^{x+\pi} \cos^4 t \,dt$ ज्ञात करना है। निश्चित समाकलन के गुणधर्म का उपयोग क

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$g(x) + g(\pi)$

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(A) दिया गया है कि $g(x) = \int_0^x \cos^4 t \,dt$. हमें $g(x+\pi) = \int_0^{x+\pi} \cos^4 t \,dt$ ज्ञात करना है। निश्चित समाकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए, $\int_0^{x+\pi} f(t) \,dt = \int_0^x f(t) \,dt + \int_x^{x+\pi} f(t) \,dt$. अतः, $g(x+\pi) = g(x) + \int_x^{x+\pi} \cos^4 t \,dt$. चूंकि $\cos^4 t$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\pi$ है, इसलिए $\pi$ लंबाई के किसी भी अंतराल पर समाकलन $[0, \pi]$ पर समाकलन के बराबर होता है। इसलिए, $\int_x^{x+\pi} \cos^4 t \,dt = \int_0^\pi \cos^4 t \,dt = g(\pi)$. अतः, $g(x+\pi) = g(x) + g(\pi)$.

यदि $g(x) = \int_0^x \cos^4 t \,dt$ है, तो $g(x+\pi)$ का मान क्या होगा?

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मान लीजिए कि फलन $f(x) = \log_{4}(\log_{5}(\log_{3}(18x - x^{2} - 77)))$ का प्रांत $(a, b)$ है। तो समाकलन $\int_{a}^{b} \frac{\sin^{3} x}{\sin^{3} x + \sin^{3}(a + b - x)} dx$ का मान $.....$ है।

$\int\limits_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2}{1 + \tan x + \sqrt{1 + \tan^2 x}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$g(\alpha)$ के लिए निम्नलिखित में से कौन सा कथन गलत है,जहाँ $\alpha \in R$ और $g(\alpha)=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^{\alpha} x}{\cos^{\alpha} x+\sin^{\alpha} x} dx$ है?

$\int_0^{2 \pi} \sin ^3 x \cos ^2 x \, dx = $ . . . . . . .

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