यदि f(x)=int frac{x^2 , dx}{(1+x^2)(1+sqrt{1+ | vedclass

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Question

(B) $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है।अतः,$f(x) = \int \frac{	an^2 	heta \sec^2 	heta \, d	he

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$\log (1+\sqrt{2})-\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(B) $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है।अतः,$f(x) = \int \frac{	an^2 	heta \sec^2 	heta \, d	heta}{\sec^2 	heta(1+\sec 	heta)} = \int \frac{	an^2 	heta \, d	heta}{1+\sec 	heta}$.चूँकि $	an^2 	heta = \sec^2 	heta - 1$,हमारे पास $\int \frac{\sec^2 	heta - 1}{1+\sec 	heta} \, d	heta = \int (\sec 	heta - 1) \, d	heta$ है।समाकलन करने पर $f(x) = \log |\sec 	heta + 	an 	heta| - 	heta + c$ प्राप्त होता है।$x = 	an 	heta$ और $\sec 	heta = \sqrt{1+x^2}$ वापस रखने पर,$f(x) = \log |x + \sqrt{1+x^2}| - 	an^{-1} x + c$ मिलता है।$f(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $\log |0 + 1| - 	an^{-1}(0) + c = 0$,जिसका अर्थ है $c = 0$.अतः,$f(x) = \log |x + \sqrt{1+x^2}| - 	an^{-1} x$.$x=1$ पर,$f(1) = \log |1 + \sqrt{2}| - 	an^{-1}(1) = \log (1+\sqrt{2}) - \frac{\pi}{4}$.

यदि $f(x)=\int \frac{x^2 \, dx}{(1+x^2)(1+\sqrt{1+x^2})}$ और $f(0)=0$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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