यदि int frac{2 e^x+3 e^{-x}}{3 e^x+4 e^{-x}} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{2 e^x+3 e^{-x}}{3 e^x+4 e^{-x}} d x$. अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{2 e^{2x}+3}{3 e^{2x}+4} d x$. अंश क

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$\frac{3}{4}, \frac{-1}{24}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{2 e^x+3 e^{-x}}{3 e^x+4 e^{-x}} d x$. अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{2 e^{2x}+3}{3 e^{2x}+4} d x$. अंश को हर और उसके अवकलज के रूप में व्यक्त करने पर: $2 e^{2x} + 3 = A_1(3 e^{2x} + 4) + B_1 \frac{d}{dx}(3 e^{2x} + 4)$. $2 e^{2x} + 3 = 3 A_1 e^{2x} + 4 A_1 + 6 B_1 e^{2x}$. गुणांकों की तुलना करने पर: $3 A_1 + 6 B_1 = 2$ और $4 A_1 = 3 \implies A_1 = \frac{3}{4}$. $A_1$ का मान रखने पर: $3(\frac{3}{4}) + 6 B_1 = 2 \implies \frac{9}{4} + 6 B_1 = 2 \implies 6 B_1 = 2 - \frac{9}{4} = -\frac{1}{4} \implies B_1 = -\frac{1}{24}$. अतः,$I = \int \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{24} \frac{6 e^{2x}}{3 e^{2x} + 4} \right) d x$. $I = \frac{3}{4} x - \frac{1}{24} \log(3 e^{2x} + 4) + C$. $Ax + B \log(3 e^{2x} + 4) + C$ से तुलना करने पर,$A = \frac{3}{4}$ और $B = -\frac{1}{24}$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{2 e^x+3 e^{-x}}{3 e^x+4 e^{-x}} d x=A x+B \log \left(3 e^{2 x}+4\right)+C$ है,तो $A$ और $B$ के मान क्रमशः क्या हैं? (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

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यदि $\int \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{x}{1+x}}\right) d x=A(x) \tan ^{-1}(\sqrt{x})+B(x)+C$ है,जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो क्रमित युग्म $(A(x), B(x))$ क्या हो सकता है?

यदि $\int \frac{d x}{\cot ^2 x-1}=\frac{1}{A} \log |\sec 2 x+\tan 2 x|-\frac{x}{B}+c$,(जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है),तो $A+B=$

समाकल का मान ज्ञात कीजिए: $\int \frac{(x+1) dx}{x(1+xe^x)}$

यदि $\int \left( \frac{1-5 \cos^{2}x}{\sin^{5}x \cos^{2}x} \right) dx = f(x) + C$ जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है, तो $f(\frac{\pi}{6}) - f(\frac{\pi}{4})$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $I_n = \int \tan^n x dx, (n > 1)$ है। यदि $I_4 + I_6 = a \tan^5 x + b x^5 + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है,तो क्रमित युग्म $(a, b)$ का मान क्या होगा?

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