यदि $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो $\text{adj}(3A^2 + 12A)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P=[p_{ij}]$ और $Q=[q_{ij}]$ क्रम $3$ के दो वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि $q_{ij}=2^{(i+j-1)}p_{ij}$ और $\det(Q)=2^{10}$ है। तो $\det(\text{adj}(\text{adj } P))$ का मान ज्ञात कीजिए।

आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -3 & 0 & -5 \\ 2 & 5 & 0 \end{bmatrix}$ के व्युत्क्रम की पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ का अवयव है ...

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ के व्युत्क्रम (inverse) में दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ का अवयव है

निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
कथन $I$: यदि $A$ एक व्युत्क्रमणीय (non-singular) आव्यूह है, तो $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
कथन $II$: यदि $A$ और $B$ समान कोटि के सममित (symmetric) आव्यूह हैं, तो $(AB - BA)$ एक विषम-सममित (skew-symmetric) आव्यूह है।
सही विकल्प चुनिए।

मान लीजिए $X=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,$Y=\alpha I+\beta X+\gamma X^{2}$ और $Z=\alpha^{2} I-\alpha \beta X+\left(\beta^{2}-\alpha \gamma\right) X^{2}$,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ है। यदि $Y^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{1}{5} & \frac{-2}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{-2}{5} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{bmatrix}$ है,तो $(\alpha-\beta+\gamma)^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।