જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ હોય,તો તમામ $n \ge 1$ માટે નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે (ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા)?

નીચેનામાંથી કયું ખોટું છે?

જો શ્રેણિક $A$ ના ઘટકો શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ccc}1 & \omega & \omega^{2} \\ \omega & \omega^{2} & 1 \\ \omega^{2} & 1 & \omega\end{array}\right]$ ના ઘટકોના વ્યસ્ત હોય,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તો:

ધારો કે $A$ એ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ll}0 & i \\ i & 0\end{array}\right]$ દર્શાવે છે,જ્યાં $i^2=-1$,અને $I$ એ એકમ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ દર્શાવે છે. તો,$I+A+A^2+\ldots+A^{2010}$ શું થાય?

ધારો કે $A$, $B$ અને $C$ એ વાસ્તવિક ઘટકો ધરાવતા ત્રણ $2 \times 2$ શ્રેણિકો છે, જેથી $B = (I + A)^{-1}$ અને $A + C = I$ થાય. જો $BC = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ અને $CB \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix}$ હોય, તો $x_1 + x_2$ ની કિંમત શોધો.

$-3 x^4 + \operatorname{det}\begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & x^2 & x^4 \\ 1 & x^3 & x^6 \end{bmatrix} = 0$ નું સમાધાન કરતા પૂર્ણાંક $x$ ની સંખ્યા કેટલી છે?