यदि f: R rightarrow R को f(x) = x^2 + 3x + 4 | vedclass

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Question

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = x^2 + 3x + 4$ एकैकी (one-one) है या आच्छादक (onto),हम इसके गुणों का विश्लेषण करते हैं:$1$. एकैकी जाँच: $f(

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बहु-एक लेकिन आच्छादक नहीं

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(C) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = x^2 + 3x + 4$ एकैकी (one-one) है या आच्छादक (onto),हम इसके गुणों का विश्लेषण करते हैं:$1$. एकैकी जाँच: $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1^2 + 3x_1 + 4 = x_2^2 + 3x_2 + 4$। यह सरल होकर $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + 3) = 0$ बन जाता है। चूँकि $x_1 = - (x_2 + 3)$ संभव है,इसलिए फलन बहु-एक (many-one) है।$2$. आच्छादक जाँच: द्विघात फलन $f(x) = x^2 + 3x + 4$ का परिसर (range) $[-\frac{D}{4a}, \infty)$ है। यहाँ $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$ है। अतः,परिसर $[-\frac{-7}{4}, \infty) = [1.75, \infty)$ है। चूँकि परिसर सह-प्रांत (codomain) $R$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।अतः,फलन बहु-एक है लेकिन आच्छादक नहीं है।

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = x^2 + 3x + 4$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो फलन $f$ . . . . . . है।

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निम्नलिखित में से कौन सा फलन एकैकी-आच्छादक (bijection) है?

यदि $f: R \to R$ है,तो $f(x) = |x|$ है

फलन $f(x) = \log (x + \sqrt{x^2 + 1})$ है

मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=3x$ के रूप में परिभाषित किया गया है। सही उत्तर चुनें।

मान लीजिए $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार परिभाषित है कि $f(n) = \begin{cases} \frac{n+1}{2}; & \text{यदि } n \text{ विषम है} \\ \frac{n}{2}; & \text{यदि } n \text{ सम है} \end{cases}$। तो $f$ है:

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