यदि f(a+b-x)=f(x) है,तो int_a^b x f(x) d x= | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_a^b x f(x) d x$. गुणधर्म $\int_a^b g(x) d x = \int_a^b g(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_a^b (a+b-x) f

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$\frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) d x$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_a^b x f(x) d x$. गुणधर्म $\int_a^b g(x) d x = \int_a^b g(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_a^b (a+b-x) f(a+b-x) d x$. चूंकि $f(a+b-x) = f(x)$,यह समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $I = \int_a^b (a+b-x) f(x) d x$. $I = (a+b) \int_a^b f(x) d x - \int_a^b x f(x) d x$. $I = (a+b) \int_a^b f(x) d x - I$. $2I = (a+b) \int_a^b f(x) d x$. $I = \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) d x$. अतः,सही विकल्प $A$ है।

यदि $f(a+b-x)=f(x)$ है,तो $\int_a^b x f(x) d x=$ . . . . . . .

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$\int_{-4}^{4} \log \left(\frac{8-x}{8+x}\right) d x=$

मान लीजिए $I_n = \int_0^{\pi / 2} x^n \cos x \, dx$,जहाँ $n$ एक अ-ऋणात्मक पूर्णांक है। तो,$\sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{I_n}{n!} + \frac{I_{n-2}}{(n-2)!} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{1} \tan^{-1} \left( \frac{1}{x^2 - x + 1} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + \tan x) \, dx$ है,तो $I$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int_0^\pi \frac{(x+3) \sin x}{1+3 \cos ^2 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए:

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