यदि $x+iy=(-1+i\sqrt{3})^{2010}$ है,तो $x$ का मान क्या है?

मान लीजिए $\alpha, \beta$ इकाई के घनमूलों को दर्शाते हैं जो $1$ के अलावा हैं और $\alpha \neq \beta$ है। मान लीजिए $S = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{n}$ है। तो $S$ का मान है

यदि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो $\left(1-\omega+\omega^2\right)^6+\left(1-\omega^2+\omega\right)^6=$

यदि $x = a + b$,$y = a\omega + b\omega^2$,और $z = a\omega^2 + b\omega$ है,तो $x^3 + y^3 + z^3$ का मान क्या होगा?

$n$ का सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\left[\frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}\right]^{n} = 1$ हो।

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^3-x^2-x-2=0$ के अवास्तविक मूल हैं,तो $\alpha^{2020}+\beta^{2020}+\alpha^{2020} \cdot \beta^{2020}=$