यदि $P(n): 2^{n} < n!$ है,तो वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n$ क्या है जिसके लिए $P(n)$ सत्य है?

सभी $n \in N$ के लिए,$2^{2n+1} + 3^{2n+1}$ किससे विभाज्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $3^{2n} - 1$,$8$ से विभाज्य है।

यदि $P(n) = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n$,$n \in N$,है,तो $P(k) = k(k + 1) + 2 \implies P(k + 1) = (k + 1)(k + 2) + 2$ सभी $k \in N$ के लिए है। तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $P(n) = n(n + 1) + 2$ किसके लिए है?

प्रत्येक $n \in N$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: $\sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}}$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \geq 2$ के लिए।