यदि $f(x)=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}x^3+\ldots+x^n$ है,तो $f''(1)$ का मान क्या होगा?

यदि $y = \sin^2 \alpha + \cos^2(\alpha + \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha + \beta)$ है,तो $\frac{d^3y}{d\alpha^3}$ ज्ञात कीजिए (जहाँ $\beta$ एक स्थिरांक है)।

एक फलन $f$ संबंध $f(x) = f''(x) + f'''(x) + \dots \infty$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(x)$ एक अनंत अवकलनीय फलन है। यदि $f(1) = 5$ है,तो $f'(1) + f''(1)$ का मान किसके बराबर है?

यदि $f(x) = (x^2 - 1)^7$ है, तो $f^{(14)}(x)$ का मान क्या होगा?

वास्तविक गुणांकों वाला एक बहुपद $P(x)$ यह गुण रखता है कि सभी $x$ के लिए $P^{\prime \prime}(x) \neq 0$ है। मान लीजिए $P(0) = 1$ और $P^{\prime}(0) = -1$ है। तो आप $P(1)$ के बारे में क्या कह सकते हैं?

फलन $y = e^{x} \sin 5x$ का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए।